Numere complexe. Semnificația și evoluția "cantităților imaginare"

Numerele sunt obiectele matematice de bază,necesare pentru diferite calcule și calcule. Totalitatea valorilor numerice naturale, intregi, raționale și iraționale formează un set de numere reale așa-numite. Dar există și o categorie destul de neobișnuită - numere complexe, definite de Rene Descartes drept "valori imaginare". Și unul dintre cei mai mari matematicieni ai secolului al XVIII-lea Leonhard Euler a propus să-i desemneze litera i din cuvântul francez imaginare (imaginar). Care sunt numerele complexe?

Așa-numitele expresii ale formei a + bi, în care ași b sunt numere reale și i este un indicator digital cu o valoare specială, al cărui pătrat este -1. Operațiile cu numere complexe sunt efectuate prin aceleași reguli ca diferitele operații matematice pe polinoame. Această categorie matematică nu exprimă rezultatele măsurătorilor sau calculelor. Pentru a face acest lucru, este suficient să aveți numere reale. De ce au nevoie de fapt?

Numere complexe, ca concept matematic,sunt necesare pentru că anumite ecuații cu coeficienți reali nu au o soluție în regiunea numerelor "obișnuite". În consecință, pentru a extinde domeniul de aplicare al soluționării inegalităților, a devenit necesară introducerea unei noi categorii matematice. Numerele complexe, care au în principal o valoare teoretică abstractă, permit rezolvarea unor astfel de ecuații ca x² +1 = 0. Trebuie remarcat faptul că, în ciuda formalitate sale aparente, această categorie de numere destul de activ și este utilizat pe scară largă, de exemplu, pentru a rezolva o varietate de probleme practice ale teoriei elasticității, inginerie electrica, aerodinamica si hidromecanică, fizica atomică și alte discipline științifice.

Modulul și argumentul numărului complex sunt utilizateatunci când construim grafice. Această formă de scriere se numește trigonometric. În plus, interpretarea geometrică a acestor numere a lărgit și mai mult domeniul de aplicare al aplicației. A devenit posibilă utilizarea lor pentru calcule cartografice diferite.

Matematica a ajuns departe de cele mai simplenumerele naturale la sisteme complexe complexe și funcțiile lor. Pe acest subiect puteți scrie un manual separat. Aici luăm în considerare doar câteva momente evolutive ale teoriei numerelor, astfel încât toate premisele istorice și științifice pentru apariția unei categorii matematice date devin clare.

Matematicienii greci vechi au fost luați în considerareNumerele "reale" exclusiv naturale, care pot fi folosite pentru a număra orice. Deja în mileniul al II-lea î.Hr. e. Egiptenii vechi și babilonienii în diverse calcule practice folosesc fracțiuni active. Următoarea etapă importantă în dezvoltarea matematicii a fost apariția unor numere negative în China antică cu două sute de ani înainte de epoca noastră. Ele au fost de asemenea folosite de matematicianul grec antic Diophantus, care cunoștea regulile celor mai simple operații asupra lor. Cu ajutorul numerelor negative a devenit posibilă descrierea diferitelor modificări ale cantităților nu numai în planul pozitiv.

În secolul al șaptelea din epoca noastră, sa stabilit cu exactitate,că rădăcinile pătrate ale numerelor pozitive au întotdeauna două valori - cu excepția celor pozitive, de asemenea negative. Din cele din urmă, a fost considerat imposibil să extragem rădăcina pătrată prin metodele obișnuite algebrice din acel moment: nu există o valoare de x astfel încât x² = ─ 9. De mult timp nu prea contează. Abia în secolul XVI, când au existat și au fost studiate în mod activ ecuații cubice, necesitatea de a extrage rădăcina pătrată din numere negative, ca în formula pentru soluția acestor expresii conține nu numai cubul, ci și rădăcinile pătrate.

O astfel de formulă este perfectă dacă ecuația nu aremai mult de o rădăcină reală. În cazul prezenței a trei rădăcini reale în ecuație, atunci când au fost vindecate, a fost obținut un număr cu o valoare negativă. Așa că sa dovedit că modul de extragere a celor trei rădăcini constă într-o operație imposibilă din punctul de vedere al matematicii din acea vreme.

Pentru a explica paradoxul rezultatAlgebristul italian J. Cardano a fost rugat să introducă o nouă categorie de numere de natură neobișnuită, numite complexe. Este interesant faptul că Cardano însuși le-a considerat inutil și, în orice mod posibil, a încercat să evite utilizarea aceleiași categorii matematice propuse de el. Dar deja în 1572 a apărut cartea unui alt algebrist italian Bombelli, unde regulile de operațiuni pe numere complexe au fost expuse în detaliu.

În timpul întregului secol al XVII-lea,discutarea naturii matematice a acestor numere și a posibilităților de interpretare geometrică a acestora. De asemenea, tehnica de a lucra cu ei a fost dezvoltată treptat și îmbunătățită. La sfârșitul secolelor XVII-XVIII, a fost creată o teorie generală a numerelor complexe. O contribuție uriașă la dezvoltarea și îmbunătățirea teoriei funcțiilor variabilelor complexe a fost introdusă de oamenii de știință ruși și sovietici. NI Muskhelishvili sa angajat în aplicarea sa la problemele teoriei elasticității, Keldysh și Lavrent'ev au găsit aplicații la numere complexe în domeniul hidrologic și aerodinamic, iar Vladimirov și Bogolyubov în teoria câmpului cuantic.